一. 教学内容：
力的合成问题探究
二. 学习目标：
1、掌握合力和分力的关系。
2、重点掌握在不同的物理情景中求解合力的一般方法。
3、掌握力的合成问题中与图形、极值相联系问题的处理方法。
高考地位：二力合成问题是高中力学内容的基础，是处理和解决高中力学问题的重要工具，从近几年的高考出题的形式上来看，可以单独考查知识点，通常是采用数形结合的方法，体现对平行四边形三角形中的边、角、最大值最小值的分析，同时更多的题目则体现了与物体的平衡问题、牛顿第二定律的应用问题、动量能量、场类问题的综合考查，如2005年江苏卷第17题、2004年广东卷第7题、2003年全国卷第15题都突出了对于该类问题的考查。
三. 重难点解析：
1. 合力与分力的概念
一个力（F），如果它产生的效果跟两个力（F1、F2）共同产生的效果相同，这个力（F）就叫做那两个力（F1、F2）的合力，则F1、F2就叫F的两个分力。
合力与分力之间的关系是一种等效替代的关系。一个力可以有多个分力，即一个力的作用效果可以与多个力的作用效果相同，反过来想，多个力的作用效果可由一个力替代。
2. 力的合成
求几个已知力的合力叫力的合成。力的合成就是找一个力去替代几个已知的力，而不改变其作用效果。
3. 共点力
几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫做共点力。
4. 共点力的合成法则——平行四边形定则
（1）力的合成法则：以表示两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两边夹角的对角线大小和方向就表示合力的大小和方向。如图甲所示。力的平行四边形定则，也可以用力的矢量三角形表示，图甲可用图乙的力的三角形法表示，即将待合成的力，按原来力的方向“首”“尾”相接，合力即起于一个力的“首”，止于另一个力的“尾”的有向线段。力的多边形法则：若是物体受到的几个力的合力为零，那么这几个力按照力的图示首尾相接，可以组成一个封闭的矢量多边形。
如三个共点力，若是合力为零，则组成如图所示的一个封闭的矢量三角形。
（2）实际问题中求合力有两种方法：
①图解法——从力的作用点起，依两个分力的作用方向按同一标度作出两个分力F1、F2，并构成一个平行四边形，这个平行四边形的对角线的长度按同样比例表示合力的大小，对角线的方向就是合力的方向，通常可用量角器直接量出合力F与某一个力（如F1）的夹角
，如图所示。
②计算法——从力的作用点按照分力的作用方向画出力的平行四边形后，算出对角线所表示的合力的大小。
5. 矢量和标量
既要由大小、又要由方向来确定的物理量叫矢量，其合成方法遵循平行四边形定则。只有大小没有方向的物理量叫标量，其合成用代数求和法。力是矢量，以前学过的速度也是矢量，而温度、质量等则是标量。
6. 应注意的两个问题
（1）共点力的合成必须遵循同物性和同时性。“同物性”指待合成的诸力是作用在同一物体上的力。“同时性”指待合成的诸力是同时出现的力。
（2）判断合力的最小值的一条有用法则：共点的三个力，如果任意两个力的合力最小值小于或等于第三个力，那么这三个共点力的合力可能等于零。
7. 力F1和F2的合力F的大小和方向，随F1和F2之间的夹角
的变化而变化
（1）当
，即F1和F2同向，此时合力最大，
，方向与两个力的方向相同。
（2）当
时，即F1和F2的方向相反，此时的合力最小，
，方向跟两个力中较大的那个力的方向相同。
（3）当
时，即F1和F2互相垂直，如图所示，由直角三角形的知识得合力
，
。
（4）当夹角等于其余任意角度时，根据余弦定理，合力
，如图所示，也可以使用力的图示法，分别以同一标度作出F1，F2的图示，应用平行四边形定则求合力的大小。
（5）由上（1）（2）知，F1和F2的合力最大值，最小值，合力F的取值范围
，在保证F1和F2大小不变的情况下，随着角的增大，F越来越小。
8. 力的合成的几种特殊情况：
（1）夹角为、两个等大的力的合成，如图所示，作出的平行四边形为菱形，利用其对角线互相垂直的特点可得直角三角形，解直角三角形求得合力
，合力F’与每一个分力的夹角等于
。
（2）夹角为120°两个等大的力的合成，如图所示，实际是（2）的特殊情况：
，即合力大小等于分力。实际上对角线把画出的菱形分为两个等边三角形，所以合力与分力等大。
（3）三个力的合成极值问题。
当三个没有限定方向关系的力合成时，我们可以先求出任两个力的合力的取值范围。然后与第三个力的大小进行比较。通过推理即可求解了。即当两个力合成后，第三个力相当于和一个没有确定大小和方向的力的合成，其最小值就可能为零了。
【典型例题】
问题1、合力与分力的关系问题：
例1. 关于两个大小不变的共点力与其合力的关系，下列说法正确的是（ ）
A. 合力随两力间夹角的减小而增大
B. 合力随两力间夹角的增大而增大
C. 合力一定大于分力中的最大者
D. 合力不可能小于分力中的最小者
解析：力是矢量，有大小、有方向，因此求两个力的合力，遵循平行四边形定则，两个等大的力合成，利用平行四边形定则，合成如图所示。
答案：A
变式：
例2. 关于合力和分力的关系，下列说法中错误的是（ ）
A. 合力的作用效果与两个分力共同作用的效果相同。
B. 合力的大小一定等于两个分力的代数和
C. 合力可能小于它的任一分力
D. 合力大小可能等于其一分力大小
答案：B
问题2、解决力的合成问题的一般方法：
例3. 两个小孩拉一辆车子，一个小孩用的力是45N，另一个小孩用的力是60N，这两个力的夹角是90°，求两力的合力。
解析：本例可利用作图法或计算法求解。
解法一：选10mm长的线段表示30N的力，作出F1=45N，F2=60N的图示，根据平行四边形定则作图，画出对角线，如图所示，量得对角线长度是25mm，所以合力的大小
再用量角器量得F与F1的夹角为53°。
解法二：根据勾股定理和几何关系可得：
∴
答案：
，
例4. 水平横梁一端插在墙壁内，另一端装小滑轮且一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m=10kg的重物，∠CBA=30°，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力为（g=10N／kg）（ ）
A. 50N B. 50
N C. 100N D. 100N
解析：以滑轮为研究对象，悬挂重物的绳的拉力是F=mg=100N，故小滑轮受到绳的作用力BC、BD方向，大小都是100N，从图中看出，∠CBD=120°，∠CBE=∠DBE，得∠CBE=∠DBE=60°，即△CBE是等边三角形，故F合=100N。
答案：C
变式：
例5. 如图所示，长为5m的细轻绳两端分别系于竖直立在地面上水平相距4m的两杆的顶端A和B。轻绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体，平衡时，绳中的张力
________________。
解析：对于轻绳来说，只要是同一根绳子，则该绳子上的张力处处相等且必定沿绳子的方向，所以挂钩受到的物体拉它的力的作用线必定位于绳子的角平分线上。
如图所示，延长BO，交杆于C。由此可知，BC=5m，CD=4m，则BD=3m，设∠CBD为α，根据力的平行四边形定则：
，所以
应为10N。
答案：10N
变式：
例6. 有5个力作用于一点O，这5个力构成一个正六边形的两个邻边和三条对角线，如图所示，设
，则这5个力合力的大小为多大？
解析：解法一：根据正六边形的对边平行且相等和三角形定则可知：F2和F5的合力等于F3；F1和F4的合力也等于F3，所以这5个力的合力等于
。
解法二：由于对称性，其合力的方向一定沿力F3的方向（F1与F5合成；F2与F4合成）。在如图所示中做出这些力合成的平行四边形，由图可知力F1和F5的夹角为120°，它们的大小相等，合力在其夹角的平分线上，合力的大小等于其分力的大小，故力F1和F5的合力
。
同理，力F2和F4的合力大小也在其夹角平分线上，由图中几何关系可得：
故这五个力的合力
答案：30N
问题3、力的合成问题中与图形、极值相联系问题的处理方法：
例7. 三个力大小分别为6N、7N、8N，它们合力的最大值为多少，最小值为多少？
解析：题目未限定三个力方向之间的关系，根据合力的取值范围，通过推理求解本题。
（1）当三个力的方向相同时，其合力最大，为三分力之和，即21N。
（2）6N和7N的两个合力最大值13N，最小值为1N，当然也可能为8N，且与第三个分力的方向相反，则三个力的合力为零。
答案：合力最大值是21N，最小值为零。
例8. 作用在一个物体上的两个共点力的合力的大小随两力之间的角度变化的关系如图所示，则有（ ）
A. 这两个力的合力的最大值为30N
B. 这两个力的合力的最小值为10N
C. 由该图象可确定两个分力的大小值
D. 只能确定两分力值的范围，不能确定具体值
解析：不妨设分力F1>F2，由图可知，当
时，分力F1、F2在一条直线上，同向，故有
①
当
时，分力F1、F2在一条直线上，反向，故有
②
联立①②可得
，
，故选ABC
答案：ABC
变式1：
例9. 如图所示，AB为半圆的一条直径，P点为圆周上的一点，在P点作用有三个共点力为F1、F2、F3，求它们的合力。
解析：如图所示，将半圆补成完整的圆，延长PO交圆于C点，连结AC、BC，可知：四边形PACB为平行四边形。所以，F1、F3的合力为2F2，则这三个力的合力为3F2。
【模拟试题】
1. 下列关于分力与合力的说法中，正确的是（ ）
A. 分力与合力同时作用在物体上，所以它们都是物体受到的力
B. 分力同时作用于物体时产生的效果与某一个力单独作用时产生的效果是相同的，那么这几个分力就是这个力
C. 合力只能大于分力，不可能小于分力
D. 两个分力夹角在0到180°之间变化时，若分力大小不变，则夹角越大合力越小
2. 如图所示，F1、F2、F3组成了一个三角形，下列说法正确的是（ ）
A. F3是F1、F2的合力
B. F2是F1、F3的合力
C. F1是F2、F3的合力
D. F1、F2、F3的合力为零
3. 如图所示，一木块在拉力F的作用下，沿水平面做匀速直线运动，则拉力F和摩擦力Ff的合力的方向是（ ）
A. 向上偏右 B. 向上偏左
C. 向上 D. 向右
4. 两个共点力同向时合力为A，反向时合力为B，当两力垂直时，合力大小为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 有三个力，
，
，
，则（ ）
A. F1可能是F2和F3的合力
B. F2可能是F1和F3的合力
C. F3可能是F1和F2的合力
D. 以上说法均不正确
6. 如图所示，是两个共点力的合力F跟它的两个分力之间的夹角的关系图象，则：
（1）这两个力的合力的变化范围是______________。
（2）这两个力的大小分别是（ ）
A. 1N和4N B. 2N和3N
C. 1N和5N D. 2N和4N
7. 如图所示，力F作用于物体的O点，现要使作用在物体上的合力沿OO’方向，需再作用一个力F1，则F1的大小可能为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
8. 如图所示，当绳子的悬点A缓慢向右移到A’点时，关于绳子AO与BO张力的合力变化正确的是（ ）
A. 数值变大，方向变化
B. 数值不变，方向不变
C. 数值不变，方向变化
D. 数值变小，方向变化
9. 如图所示为六个共点力，F1=1N，F2=2N，F3=3N，F4=4N，F5=5N，F6=6N，相互间的夹角均为60°。求这六个力的合力。
10. 当颈椎肥大压迫神经时，需要用颈部牵拉器牵拉颈部，以缓解神经压迫症状，如图所示为颈部牵位器牵拉颈椎肥大患者颈部的示意图。图中牵拉细绳为跨过3个小滑轮的同一根绳子，牵拉绳分别为水平、竖直方向，牵拉物P的质量一般为3kg，求牵拉器作用在患者头部的合力大小。
【试题答案】
1. D（合力与分力不能同时存在，合力与分力只是等效替代关系，合力与分力大小可以有任何关系。）
2. D（在力的三角形图中，分力首尾相连，从一个力的首到另一个力的尾为合力，则F1、F2的合力为-F3，同样F1、F3的合力为-F2，F2、F3的合力为-F1，所以F1、F2、F3的合力为零。）
3. C（如图所示，木块匀速直线运动，有F1=Ff因为F1、F2是力F的两个分力，其作用效果与力F的作用效果相同，所以力F与Ff的合力和F1、F2、Ff的合力相同，即合力方向向上。）
4. B 
5. D（F1、F2的合力范围是3N~7N，F3不在该范围内，F1、F3的合力范围是6N~10N，F2在该范围内，F2、F3的合力范围是3N~13N，F1不在该范围内，若两分力大小为F1、F2，合力为F，则
。）
6. （1）1N~5N
（2）B（由题图可知时，合力最大为5N；时，合力最小为1N。）
7. A、B、C（利用图解法分析较为方便。如图所示，当F1与OO’方向垂直时，有最小值
；当F1与F垂直时，
。事实上，是不可能的。）
8. B（因为重物静止，所以两绳上拉力的合力和重力大小相等、方向相反。而绳子缓慢移动，认为在绳移动过程中，重物仍处于静止，故两绳上拉力的合力始终与重力大小相等、方向相反。两绳拉力的效果没变。）
9. 解：
与F4合成
。方向与F4相同；F2与F5合成
，方向与F5相同；F3与F6合成
，方向与F6相同；
与
的夹角为120°，合力大小为3N，方向沿F5，所以六个力的合力为6N。
10. 65.7N（跨过光滑滑轮的细绳拉力F均相等，大小为牵拉物P的重量G，牵拉器通过对头顶上方小滑轮的作用来达到牵拉颈部的目的。作用在头顶上方小滑轮竖直向上的拉力为2F，水平方向的拉力为F，牵拉器作用在患者头部的合力大小为：
。）
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